由减法引出的思考
作者:石拓
发表:2023/10/27 16:13:44
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编辑按:普通的数学常识引发出深刻的哲学命题!
人类因为有思想,有生产活动,有社会关系,于是建立起了数的概念与理论,建立起了数的运算法则等等,这就是所谓严密的数学体系。人因为有了十个手指头,也许就此创立了十进制。人还有十个脚趾头,十个脚趾头与十个手指头一起,于是创立了二十进制,显然,这是再自然也不过的事了。只是现有的数学体系,通常建立在十进制的基础上。不过,不同进制的数学,可以相互转换,视方便、实用而定。例如:电脑采用的是二进制。一般通常的情况下,倘若不另加说明,均指十进制数学。
人的手指头和脚趾头是直观的,加法也是直观的。二十以内的数,经过加法,假如仍然在二十以内,人们仍然可以用手指或脚趾来表达。即使是二十以内的数,经过加法所得的和,大于了二十,无法再用手和脚的指头来表达,此时,由于数的进制规定,如十进制的规定,仍然可以“直观”理解加法的结果。但是减法则不然,当减数大于被减数时,所得到的差,既不能用手脚的指头来表达,也不是那样“直观”了,它是一个新的性质不同的数。例如:在自然数中,当减数大于被减数时,所得到的差,在自然数中是不存在的。这种新的性质不同的数,在加法法则中是不会产生的,这倒不是仅限十进制,在其它的进制中也是如此。 这个由于减法而产生的新数,今人称之为“负数”,负数是一个比较抽象的数。负数的出现,在我国,可以追溯到公元前的战国(公元前475——221年)。当时的国人,对负数的理解是“亏负”、“亏欠”的意思,具有社会经济的意义。关于负数,到了《九章算术》,已经有了定义,即“盈亏问题”。 我国古代的《九章算术》,是一部我国先民,从远古至王莽(新朝皇帝,公元前45——公元23年)新朝(公元9——23年)时期的数学总结的书籍。《九章算术》一书约成书于王莽的新朝期间,到了三国时期,曹魏人数学家刘徽(约公元225年——295年),在他的《九章算术注》中,进行了代数定义,即“正算赤,负算黑。否则以邪正为异”。 人类的活动史,假如以文字(包括数字)的出现为标志,算是进入文明社会的话。那么,文明社会发展至今,至少也有七八千年的历史了,例如:从始于古埃及的文明,至今日。在这七八千年的文明史中,虽有多个民族相继产生了数学,包括古希腊的数学。然而,国人对于“负数”的认识与应用,则可以算是最早的了。而且,在纪元初期,以《九章算术》以及《九章算术注》(刘徽•著)等,形成了我国的初等数学体系,虽然这个体系以应用为主要内容。但是,《九章算术》还是对后人,对周边国家产生了极大的影响。 其实,只要有减法,必然会产生“负数”。虽然在四千多年前古巴比伦人的数学中,已经出现了负数,可是古巴比伦人并不认识负数,所以他们从来都是舍弃不用的。二千五百多年前的古希腊数学,也没有接受负数。以至于往后的二千多年里,一直在研究负数,研究负数在逻辑上存在的合理性。这是一个至关重要的问题,假如负数“不合理”,即:“虚构”的。那么,减法将出现问题。 然而,国人是讲究实际的,古代的国人也是如此。当西方人不知负数为何物时,国人却已应用在了“盈亏问题”上了。可是,过分的实际,将会导致功利,而功利终将导致发展缓慢。先秦推行军功爵位制,秦人杀敌勇猛无比。士兵因为爵位而滥杀无辜,也是屡见不鲜的,如“长平之战”后,秦兵残忍的坑杀,已经投降了的赵军,我想,探究其原因,也许与秦国的军功爵位制有关。 如果说,逻辑是理性的,那么,古代的国人中,不乏理性的智者,他们无视功利而善于思考,善于观察世界,善于去了解世界。例如:战国时期的思想家、科学家墨子(公元前468——376年),墨子先生曾试图用逻辑,定义几何概念,虽然没有形成系统,哪怕是雏形也好,但毕竟有了开始。墨子先生也曾考虑到了时空的连续性问题,诸如“无限大”等的概念。可惜,响应者追随者,却寥寥无几,终究不成气候。 功利终将使人追求实惠,人因为要得到“实惠”,所以可不计后果,甚至可以失去道德,或者根本无需道德。理性则不然,理性将产生文明,而科学就是人类文明的产物。 虽然,国人首先定义了负数,也应用了负数。但是,负数的产生与应用,全都源自于“算账”,即“盈亏问题”,是实用的结果,而不是出自逻辑的推导。尽管如此,我国的初等数学,包括关于负数的“盈亏问题”在内,还是很可能通过“丝绸之路”,传到了印度,后来又传到了新兴的阿拉伯,再由阿拉伯传到欧洲。这是因为,印度最早出现的“负数”概念,是在公元628年左右。碰“巧”的是,印度人的负数,也是用来表示“亏欠”(欠债)的意思。我相信,古代国人的数学,对于人类文明的发展,一定有过伟大的贡献。 古希腊人,欧几里得(约公元前330——275年)的《几何原本》,是欧几里得用逻辑方法,把自上古到欧几里得时止,古希腊人所知的数学内容,贯穿了起来;《九章算术》是我国自上古到西汉末,数学全部内容的总结。虽然两者之间没有任何的联系,各自独立地完成。但两者都是研究同一课题,即数学,并且都取得了伟大成就。然而,我国的古代数学,终于没有建立起,严密的逻辑体系。于是,再也无法进一步发展,发展到近现代的高等数学。 十九世纪以前的东西方数学,对于负数的认识,有着相当大的区别。国人选择了“盈亏”,即应用上的直观。西方人选择了“合理性”,即逻辑上的抽象。这倒不是因为古代中国的经济,有多么的发达。其实,古代东西方的经济,都属自然经济,地中海沿岸、小亚细亚诸国的经济也是相当好的。但两者之间的选择,却是如此的大相径庭,其结果,更是无法相比。由此可见,人的第一次选择是何等的重要。 由于减法产生了的“负数”,虽然早在四千多年前已经出现。但是,人类真正地认识到“负数”,作为数学上的数,是否“对”,或者是否“合理”,则是经历了二千多年。二千多年来,人们不断的争论,在争论中不断的认识。直到19世纪,数学中整数理论的建立,才算有了结果。当然,功利与理性都会有结果,值得深思的问题是,哪种结果更有发展空间。 本文共有 篇评论
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